Matemática básica Ejemplos

$y = - \frac{2}{3} \cdot {(y - 9)}^{2}$

Paso 1

Simplifica $- \frac{2}{3} \cdot {(y - 9)}^{2}$ .

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Paso 1.1

Reescribe ${(y - 9)}^{2}$ como $(y - 9) (y - 9)$ .

$y = - \frac{2}{3} \cdot ((y - 9) (y - 9))$

Paso 1.2

Expande $(y - 9) (y - 9)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \frac{2}{3} \cdot (y (y - 9) - 9 (y - 9))$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \frac{2}{3} \cdot (y \cdot y + y \cdot - 9 - 9 (y - 9))$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \frac{2}{3} \cdot (y \cdot y + y \cdot - 9 - 9 y - 9 \cdot - 9)$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Multiplica $y$ por $y$ .

$y = - \frac{2}{3} \cdot (y^{2} + y \cdot - 9 - 9 y - 9 \cdot - 9)$

Paso 1.3.1.2

Mueve $- 9$ a la izquierda de $y$ .

$y = - \frac{2}{3} \cdot (y^{2} - 9 \cdot y - 9 y - 9 \cdot - 9)$

Paso 1.3.1.3

Multiplica $- 9$ por $- 9$ .

$y = - \frac{2}{3} \cdot (y^{2} - 9 y - 9 y + 81)$

Paso 1.3.2

Resta $9 y$ de $- 9 y$ .

$y = - \frac{2}{3} \cdot (y^{2} - 18 y + 81)$

Paso 1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \frac{2}{3} y^{2} - \frac{2}{3} (- 18 y) - \frac{2}{3} \cdot 81$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Combina $y^{2}$ y $\frac{2}{3}$ .

$y = - \frac{y^{2} \cdot 2}{3} - \frac{2}{3} (- 18 y) - \frac{2}{3} \cdot 81$

Paso 1.5.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.5.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{3}$ al numerador.

$y = - \frac{y^{2} \cdot 2}{3} + \frac{- 2}{3} (- 18 y) - \frac{2}{3} \cdot 81$

Paso 1.5.2.2

Factoriza $3$ de $- 18 y$ .

$y = - \frac{y^{2} \cdot 2}{3} + \frac{- 2}{3} (3 (- 6 y)) - \frac{2}{3} \cdot 81$

Paso 1.5.2.3

Cancela el factor común.

$y = - \frac{y^{2} \cdot 2}{3} + \frac{- 2}{3} (3 (- 6 y)) - \frac{2}{3} \cdot 81$

Paso 1.5.2.4

Reescribe la expresión.

$y = - \frac{y^{2} \cdot 2}{3} - 2 (- 6 y) - \frac{2}{3} \cdot 81$

Paso 1.5.3

Multiplica $- 6$ por $- 2$ .

$y = - \frac{y^{2} \cdot 2}{3} + 12 y - \frac{2}{3} \cdot 81$

Paso 1.5.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.5.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{3}$ al numerador.

$y = - \frac{y^{2} \cdot 2}{3} + 12 y + \frac{- 2}{3} \cdot 81$

Paso 1.5.4.2

Factoriza $3$ de $81$ .

$y = - \frac{y^{2} \cdot 2}{3} + 12 y + \frac{- 2}{3} \cdot (3 (27))$

Paso 1.5.4.3

Cancela el factor común.

$y = - \frac{y^{2} \cdot 2}{3} + 12 y + \frac{- 2}{3} \cdot (3 \cdot 27)$

Paso 1.5.4.4

Reescribe la expresión.

$y = - \frac{y^{2} \cdot 2}{3} + 12 y - 2 \cdot 27$

Paso 1.5.5

Multiplica $- 2$ por $27$ .

$y = - \frac{y^{2} \cdot 2}{3} + 12 y - 54$

Paso 1.6

Mueve $2$ a la izquierda de $y^{2}$ .

$y = - \frac{2 y^{2}}{3} + 12 y - 54$

Paso 2

Como $y$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$- \frac{2 y^{2}}{3} + 12 y - 54 = y$

Paso 3

Mueve todos los términos que contengan $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{2 y^{2}}{3} + 12 y - 54 - y = 0$

Paso 3.2

Resta $y$ de $12 y$ .

$- \frac{2 y^{2}}{3} + 11 y - 54 = 0$

Paso 4

Multiplica por el mínimo común denominador $3$ , luego simplifica.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (- \frac{2 y^{2}}{3}) + 3 (11 y) + 3 \cdot - 54 = 0$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2 y^{2}}{3}$ al numerador.

$3 (\frac{- 2 y^{2}}{3}) + 3 (11 y) + 3 \cdot - 54 = 0$

Paso 4.2.1.2

Cancela el factor común.

$3 (\frac{- 2 y^{2}}{3}) + 3 (11 y) + 3 \cdot - 54 = 0$

Paso 4.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- 2 y^{2} + 3 (11 y) + 3 \cdot - 54 = 0$

Paso 4.2.2

Multiplica $11$ por $3$ .

$- 2 y^{2} + 33 y + 3 \cdot - 54 = 0$

Paso 4.2.3

Multiplica $3$ por $- 54$ .

$- 2 y^{2} + 33 y - 162 = 0$

Paso 5

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 6

Sustituye los valores $a = - 2$ , $b = 33$ y $c = - 162$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{- 33 \pm \sqrt{33^{2} - 4 \cdot (- 2 \cdot - 162)}}{2 \cdot - 2}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.1

Eleva $33$ a la potencia de $2$ .

$y = \frac{- 33 \pm \sqrt{1089 - 4 \cdot - 2 \cdot - 162}}{2 \cdot - 2}$

Paso 7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 2 \cdot - 162$ .

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Paso 7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$y = \frac{- 33 \pm \sqrt{1089 + 8 \cdot - 162}}{2 \cdot - 2}$

Paso 7.1.2.2

Multiplica $8$ por $- 162$ .

$y = \frac{- 33 \pm \sqrt{1089 - 1296}}{2 \cdot - 2}$

Paso 7.1.3

Resta $1296$ de $1089$ .

$y = \frac{- 33 \pm \sqrt{- 207}}{2 \cdot - 2}$

Paso 7.1.4

Reescribe $- 207$ como $- 1 (207)$ .

$y = \frac{- 33 \pm \sqrt{- 1 \cdot 207}}{2 \cdot - 2}$

Paso 7.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (207)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{207}$ .

$y = \frac{- 33 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{207}}{2 \cdot - 2}$

Paso 7.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$y = \frac{- 33 \pm i \cdot \sqrt{207}}{2 \cdot - 2}$

Paso 7.1.7

Reescribe $207$ como $3^{2} \cdot 23$ .

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Paso 7.1.7.1

Factoriza $9$ de $207$ .

$y = \frac{- 33 \pm i \cdot \sqrt{9 (23)}}{2 \cdot - 2}$

Paso 7.1.7.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$y = \frac{- 33 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 23}}{2 \cdot - 2}$

Paso 7.1.8

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{- 33 \pm i \cdot (3 \sqrt{23})}{2 \cdot - 2}$

Paso 7.1.9

Mueve $3$ a la izquierda de $i$ .

$y = \frac{- 33 \pm 3 i \sqrt{23}}{2 \cdot - 2}$

Paso 7.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$y = \frac{- 33 \pm 3 i \sqrt{23}}{- 4}$

Paso 7.3

Simplifica $\frac{- 33 \pm 3 i \sqrt{23}}{- 4}$ .

$y = \frac{33 \pm 3 i \sqrt{23}}{4}$

Paso 8

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = \frac{33 + 3 i \sqrt{23}}{4}, \frac{33 - 3 i \sqrt{23}}{4}$